(2010•南通模拟)已知函数f(x)=x2-2acoskπ•lnx(k∈N*,a∈R,且a>0).
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/08 22:20:17
(2010•南通模拟)已知函数f(x)=x2-2acoskπ•lnx(k∈N*,a∈R,且a>0).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若k=2010,关于x的方程f(x)=2ax有唯一解,求a的值.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若k=2010,关于x的方程f(x)=2ax有唯一解,求a的值.
(1)由已知得x>0且f′(x)=2x−(−1)k•
2a
x.
当k是奇数时,f′(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上是增函数;
当k是偶数时,则f′(x)=2x−
2a
x=
2(x+
a)(x−
a)
x.
所以当x∈(0,
a)时,f′(x)<0,
当x∈(
a,+∞)时,f′(x)>0.
故当k是偶数时,f(x)在(0,
a)上是减函数,
在(
a,+∞)上是增函数.
(2)若k=2010,则f(x)=x2-2alnx(k∈N*).
记g(x)=f(x)-2ax=x2-2axlnx-2ax,
g′(x)=2x−
2a
x−2a=
2
x(x2−ax−a),
若方程f(x)=2ax有唯一解,即g(x)=0有唯一解;
令g'(x)=0,得x2-ax-a=0.因为a>0,x>0,
所以x 1=
a−
2a
x.
当k是奇数时,f′(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上是增函数;
当k是偶数时,则f′(x)=2x−
2a
x=
2(x+
a)(x−
a)
x.
所以当x∈(0,
a)时,f′(x)<0,
当x∈(
a,+∞)时,f′(x)>0.
故当k是偶数时,f(x)在(0,
a)上是减函数,
在(
a,+∞)上是增函数.
(2)若k=2010,则f(x)=x2-2alnx(k∈N*).
记g(x)=f(x)-2ax=x2-2axlnx-2ax,
g′(x)=2x−
2a
x−2a=
2
x(x2−ax−a),
若方程f(x)=2ax有唯一解,即g(x)=0有唯一解;
令g'(x)=0,得x2-ax-a=0.因为a>0,x>0,
所以x 1=
a−
(2010•南通模拟)已知函数f(x)=x2-2acoskπ•lnx(k∈N*,a∈R,且a>0).
以知函数F(x)=x^2-2acosk π*lnx(k属于N*,a属于R,且a>0)
(2012•资阳一模)已知函数f(x)=2lnx-x2+ax,a∈R.
已知函数f(x)=x2-lnx-ax,a∈R.
已知函数f(x)=lnx+x2-ax,a∈R.
(2014•市中区二模)已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.
(2014•烟台二模)已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.
已知函数f(x)=(a−12)x2+lnx.(a∈R)
(2013•梅州一模)已知函数f(x)=(a−12)x2+lnx(a∈R).
已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R,a>0).
(2014•江苏模拟)已知函数f(x)=x3+x2-ax(a∈R).
(2009•惠州模拟)已知函数f(x)=x4+ax3+2x2+b(x∈R),其中a,b∈R.