大师作文网关于线性代数的一道证明题,如图,
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/06 05:56:23
关于线性代数的一道证明题,如图,
麻烦各位啦
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1、因为（E-AB)(E+AB)=E-ABAB=0,所以R(E-AB)+R(E+AB)=R(E-AB+E+AB)=R(2E)=n,所以R(E-AB)+R(E+AB)=n
2、只须证明ATAX=0与AX=0同解即可
显然AX=0解是ATAX=0的解,反之,设y=AX,则yTy=XTATAX,所以若ATAX=0的解必是yTy=0的解,但是yTy=0仅有零解,所以ATAX=0的解也是AX=0的解.证毕!
再问： 请问为什么第1小题的"因为（E-AB)(E+AB)=E-ABAB=0，所以R(E-AB)+R(E+AB)=R(E-AB+E+AB)=R(2E)=n",麻烦能详细说明一下吗?
还想请问第2小题,其实一直不明白这种题为什么是证明R(ATA)=R(A)就只须证明ATAX=0与AX=0同解?为什么证明的第二部yTy=0仅有零解?
再答： 若AB=0，由矩阵乘法定义A的行向量和B的列向量正交，因此R(A)+R(B)
2、只须证明ATAX=0与AX=0同解即可
显然AX=0解是ATAX=0的解,反之,设y=AX,则yTy=XTATAX,所以若ATAX=0的解必是yTy=0的解,但是yTy=0仅有零解,所以ATAX=0的解也是AX=0的解.证毕!
再问： 请问为什么第1小题的"因为（E-AB)(E+AB)=E-ABAB=0，所以R(E-AB)+R(E+AB)=R(E-AB+E+AB)=R(2E)=n",麻烦能详细说明一下吗?
还想请问第2小题,其实一直不明白这种题为什么是证明R(ATA)=R(A)就只须证明ATAX=0与AX=0同解?为什么证明的第二部yTy=0仅有零解?
再答： 若AB=0，由矩阵乘法定义A的行向量和B的列向量正交，因此R(A)+R(B)