已知函数f(x)=(x+1)e-x(e为自然对数的底数).
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/25 14:24:21
已知函数f(x)=(x+1)e-x(e为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设函数φ(x)=xf(x)+tf′(x)+e-x,存在x1,x2∈[0,1],使得成立2φ(x1)<φ(x2)成立,求实数t的取值范围.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设函数φ(x)=xf(x)+tf′(x)+e-x,存在x1,x2∈[0,1],使得成立2φ(x1)<φ(x2)成立,求实数t的取值范围.
(Ⅰ)∵函数的定义域为R,f′(x)=−
x
ex,
∴当x<0时,f′(x)>0,当x>0时,f′(x)<0.
∴f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减.
(Ⅱ)假设存在x1,x2∈[0,1],使得2φ(x1)<φ(x2)成立,
则2[φ(x)]min<[φ(x)]max.
∵φ(x)=xf(x)+tf′(x)+e−x=
x2+(1−t)x+1
ex,
∴φ′(x)=
−[x2−(1+t)x+t]
ex=-
(x−t)(x−1)
ex,
①当t≥1时,φ′(x)≤0,φ(x)在[0,1]上单调递减,
∴2φ(1)<φ(0),即t>3−
e
2>1;
②当t≤0时,φ′(x)>0,φ(x)在[0,1]上单调递增,
∴2φ(0)<φ(1),即t<3-2e<0;
③当0<t<1时,在x∈[0,t],φ′(x)<0,φ(x)在[0,t]上单调递减
在x∈(t,1],φ′(x)>0,φ(x)在[t,1]上单调递增
所以2φ(t)<max{φ(0),φ(1)},
即2
t+1
et<max{1,
3−t
e}--(*)
由(Ⅰ)知,g(t)=2
t+1
et在[0,1]上单调递减,
故
4
e≤2
t+1
et≤2,
而
2
e≤
3−t
e≤
3
e,所以不等式(*)无解
综上所述,存在t∈(−∞,3−2e)∪(3−
e
2,+∞),使得命题成立.
x
ex,
∴当x<0时,f′(x)>0,当x>0时,f′(x)<0.
∴f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减.
(Ⅱ)假设存在x1,x2∈[0,1],使得2φ(x1)<φ(x2)成立,
则2[φ(x)]min<[φ(x)]max.
∵φ(x)=xf(x)+tf′(x)+e−x=
x2+(1−t)x+1
ex,
∴φ′(x)=
−[x2−(1+t)x+t]
ex=-
(x−t)(x−1)
ex,
①当t≥1时,φ′(x)≤0,φ(x)在[0,1]上单调递减,
∴2φ(1)<φ(0),即t>3−
e
2>1;
②当t≤0时,φ′(x)>0,φ(x)在[0,1]上单调递增,
∴2φ(0)<φ(1),即t<3-2e<0;
③当0<t<1时,在x∈[0,t],φ′(x)<0,φ(x)在[0,t]上单调递减
在x∈(t,1],φ′(x)>0,φ(x)在[t,1]上单调递增
所以2φ(t)<max{φ(0),φ(1)},
即2
t+1
et<max{1,
3−t
e}--(*)
由(Ⅰ)知,g(t)=2
t+1
et在[0,1]上单调递减,
故
4
e≤2
t+1
et≤2,
而
2
e≤
3−t
e≤
3
e,所以不等式(*)无解
综上所述,存在t∈(−∞,3−2e)∪(3−
e
2,+∞),使得命题成立.
已知函数f(x)=(x+1)e-x(e为自然对数的底数).
已知函数f(x)=ex-x(e为自然对数的底数)
已知函数f(x)=x-1+aex(a∈R,e为自然对数的底数).
已知函数f(x)=(2x+a)*e^x(e为自然对数的底数)
设函数f(x)=ex-x(e为自然对数的底数).
已知函数f(x)=e^x-ax(e为自然对数的底数),求函数的单调区间.
已知函数f(x)=ex-ax(e为自然对数的底数)
已知函数f(x)=ex-ax-1(a>0,e为自然对数的底数).
已知函数f(x)=ex-ax-1(a>0,e为自然对数的底数).
已知函数f(x)=(2x+1)ex(e为自然对数的底数)
已知函数f(x)=(ax2-2x+1)•e-x(a∈R,e为自然对数的底数).
已知a属于R,函数f(x)=a/x+lnx-1,g(x)=(lnx-1)e^x+x(其中e为自然对数的底数)