函数f(x)在x取正整数时为实数,且满足对于任意正整数n,f(-n^2+3n+1)=f^2(n)+2恒成立,是否存在这样
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/03 19:21:54
函数f(x)在x取正整数时为实数,且满足对于任意正整数n,f(-n^2+3n+1)=f^2(n)+2恒成立,是否存在这样的函数
代入n = 1得f(3) = f(1)²+2,代入n = 3得f(1) = f(3)²+2.
相减得f(1)-f(3) = f(3)²-f(1)² = (f(3)-f(1))(f(3)+f(1)).
即(f(3)-f(1))(f(3)+f(1)+1) = 0.
有f(1) = f(3)或f(1)+f(3)+1 = 0.
若f(1) = f(3),代回得f(1) = f(1)²+2,即f(1)为x²-x+2 = 0的根.
但x²-x+2 = 0无实根,与f(1)为实数矛盾.
故f(1)+f(3)+1 = 0,即f(3) = -1-f(1).
代回得-1-f(1) = f(1)²+2,即f(1)为x²+x+3 = 0的根.
但x²+x+3 = 0无实根,与f(1)为实数矛盾.
综上,不存在满足条件的函数.
再问: 那你是如何想到要将n=1和n=3代入的?并且题目未规定函数类型,万一原函数中出现无限大的话,那结论不就必然能成立了吗?
再答: 因为题目的条件集中在f(x)在正整数处的取值. 所以想到取正整数n让-n²+3n+1取值为正整数. 这样的选择很少, 只有n = 1, 2, 3. 代入能得到f(3) = f(1)²+2, f(1) = f(3)²+2算是巧合. 不过应该是出题人故意为之. 我不太清楚你说的出现无穷大是什么意思, 是指∞ = ∞²+2? 无穷大(通常)并不是一个数, 不能满足取值为实数的要求.
相减得f(1)-f(3) = f(3)²-f(1)² = (f(3)-f(1))(f(3)+f(1)).
即(f(3)-f(1))(f(3)+f(1)+1) = 0.
有f(1) = f(3)或f(1)+f(3)+1 = 0.
若f(1) = f(3),代回得f(1) = f(1)²+2,即f(1)为x²-x+2 = 0的根.
但x²-x+2 = 0无实根,与f(1)为实数矛盾.
故f(1)+f(3)+1 = 0,即f(3) = -1-f(1).
代回得-1-f(1) = f(1)²+2,即f(1)为x²+x+3 = 0的根.
但x²+x+3 = 0无实根,与f(1)为实数矛盾.
综上,不存在满足条件的函数.
再问: 那你是如何想到要将n=1和n=3代入的?并且题目未规定函数类型,万一原函数中出现无限大的话,那结论不就必然能成立了吗?
再答: 因为题目的条件集中在f(x)在正整数处的取值. 所以想到取正整数n让-n²+3n+1取值为正整数. 这样的选择很少, 只有n = 1, 2, 3. 代入能得到f(3) = f(1)²+2, f(1) = f(3)²+2算是巧合. 不过应该是出题人故意为之. 我不太清楚你说的出现无穷大是什么意思, 是指∞ = ∞²+2? 无穷大(通常)并不是一个数, 不能满足取值为实数的要求.
函数f(x)在x取正整数时为实数,且满足对于任意正整数n,f(-n^2+3n+1)=f^2(n)+2恒成立,是否存在这样
函数f(x)对于任意实数x,y,满足f(x+y)=f(x)f(y),且f(1)=1/3,求f(n)(n为正整数)关于n的
设函数f(x)满足f(n+1)=(2f(n)+n)/2 (n为正整数),且f(1)=2,则f(20)=_______
设函数f(x)满足f(n+1)={2f(n)+n}/2,(n∈正整数),且f(1)=2,那么f(20)=?
已知函数f(x)的定义域为R,满足f(12)=2,且对于任意实数m,n有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,当x>-1
设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f(2-x)+f(x)=0恒成立.如果实数m、n满足不等式组f(m2−
定义在正整数集上的函数f(x)对任意m,n∈N*,都有f(m+n)=f(m)+f(n)+4(m+n)-2,且f(1)=1
定义在正整数集上的函数f(x)对任意m,n∈N+,f(m+n)=f(m)+f(n)+4(m+n)-2,且f(1)=1
定义在正整数上的函数f(x)对任意m,n∈N*,都有f(m+n)=f(m)+f(n)+4(m+n)-2,且f(1)=1.
已知函数f(x)满足f(1)=1,且对任意正整数n都有f(1)+f(2)+…+f(n)=n2f(n),则2015•f(2
定义在正整数集上的函数f(x)满足 f(1)=2011且f(1)+f(2)+……+f(n)=n平方f(n)(n大于等于1
设函数f(x)满足f(n+1)=(2f(n)+n)/2 n为正整数,则f(20)为?