设limx→0f(x)/x=1,且f‘’(x)>0,证明:f(x)>x.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/22 17:39:59
设limx→0f(x)/x=1,且f‘’(x)>0,证明:f(x)>x.
由lim[f(x)/x] =1 知 x->0时 f(x)必趋近于0,补充定义:f(0) =0
则 f '(0)=lim [ ( f(x)- f(0)) /(x- 0) ] = 1
构造函数 g(x)= f(x) -x,则 g '(x) = f '(x) -1,g"(x)= f"(x)>0
所以 g '(x) 是严格递增函数,当x >0 时g '(x) > g'(0)= f'(0) -1 = 0,此时 g(x) >0,即 f(x)> x
当 x < 0时 g '(x) < g'(0)= f'(0) -1 = 0,此时 g(x) < 0,即 f(x)< x
因此,个人感觉这道题似乎有些不严谨~
再问: 我这里有份答案,但我不知道最后一步f(x)是怎么得出来的,能帮我解释一下吗?谢谢。
再答: 那一步是用了2阶的泰勒展开式 对于任何函数f(x), 如果它二阶可导,则有
f(x) = f(x0)+ f '(x0) *(x-x0)+ f ''(r)/2 *(x-x0)^2
这里 x0 取了0罢了
还有我刚才推导的时候有个地方错了
x
则 f '(0)=lim [ ( f(x)- f(0)) /(x- 0) ] = 1
构造函数 g(x)= f(x) -x,则 g '(x) = f '(x) -1,g"(x)= f"(x)>0
所以 g '(x) 是严格递增函数,当x >0 时g '(x) > g'(0)= f'(0) -1 = 0,此时 g(x) >0,即 f(x)> x
当 x < 0时 g '(x) < g'(0)= f'(0) -1 = 0,此时 g(x) < 0,即 f(x)< x
因此,个人感觉这道题似乎有些不严谨~
再问: 我这里有份答案,但我不知道最后一步f(x)是怎么得出来的,能帮我解释一下吗?谢谢。
再答: 那一步是用了2阶的泰勒展开式 对于任何函数f(x), 如果它二阶可导,则有
f(x) = f(x0)+ f '(x0) *(x-x0)+ f ''(r)/2 *(x-x0)^2
这里 x0 取了0罢了
还有我刚才推导的时候有个地方错了
x
设limx→0f(x)/x=1,且f‘’(x)>0,证明:f(x)>x.
设f(x)有二阶导数,且f''(X)>0,lim(x趋于0)f(x)/x=1 ..证明:当x>0时,有f(x)>x
设f(x)有二阶函数,且f''(x)>0,limx趋于0f(x)/x=1.证明:当x>0时,有f(x)>x
设f(x)具有二阶连续导数,且f′(0)=0,limx→0f″(x)|x|=1,则( )
设f(x)在点x=0的某一邻域内具有二阶连续导数,且limx→0f(x)x=0,证明级数∞n=1f(1n)绝对收敛
设f (x )定义在R上的函数,且对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)f(y),且x>0时,f(x)>1证明:
设对任意的x,总有φ(x)≤f(x)≤g(x),且limx→∞[g(x)-φ(x)]=0,则limx→∞f(x)( )
设f(x)=|x|/x,求limx→0-f(x)及limx→0+f(x),并判断limx→0f(x)是否存在
设函数f(x)在x=1处的导数为1,则limx→0f(1+x)−f(1)2x
设f(x)有二阶连续导数且f’(x)=0,limx—0 f’’(x) / [x] =1 为什么f(0)是f(x)的极小值
设函数f(x) 在点x=0 处可导,且 f(0)=0, limx→0 f(-2x)/x=2,则f‘(0) = -1 ..
设f(x)={1/x,x^2-2x,3x-6 联立 条件有x<0,0≤x≤2,x>2,求limx→0f(x)及limx→