大师作文网证明对数不等式证明不等式：㏒23＞㏒34
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/06 11:36:28
证明对数不等式
证明不等式：㏒23＞㏒34
证明不等式：㏒23＞㏒34
证明
[[1]]
构造函数
g(x)=x(lnx),(x≥2)
求导,可得
g'(x)=(lnx)+1,
易知,当x≥2时,恒有g'(x)＞0
∴在x≥2时,该函数递增.
∴恒有g(x+1)＞g(x),(x≥2)]
即恒有(xlnx)-(x+1)ln(x+1)＜0,(x≥2)
[[2]]
构造函数f(x)=logx(x+1),(x≥2) (底数为x,真数为x+1 )
=[ln(x+1)]/(lnx) (换底公式,)
求导,可得
f'(x)={(xlnx)-(x+1)ln(x+1)}/[x(x+1)(ln²x)]
结合上面可知,恒有f'(x)＜0,(x≥2)
∴在x≥2时,函数f(x)=logx(x+1)递减
∴f(2)＞f(3)
即log2(3)＞log3(4)
[[1]]
构造函数
g(x)=x(lnx),(x≥2)
求导,可得
g'(x)=(lnx)+1,
易知,当x≥2时,恒有g'(x)＞0
∴在x≥2时,该函数递增.
∴恒有g(x+1)＞g(x),(x≥2)]
即恒有(xlnx)-(x+1)ln(x+1)＜0,(x≥2)
[[2]]
构造函数f(x)=logx(x+1),(x≥2) (底数为x,真数为x+1 )
=[ln(x+1)]/(lnx) (换底公式,)
求导,可得
f'(x)={(xlnx)-(x+1)ln(x+1)}/[x(x+1)(ln²x)]
结合上面可知,恒有f'(x)＜0,(x≥2)
∴在x≥2时,函数f(x)=logx(x+1)递减
∴f(2)＞f(3)
即log2(3)＞log3(4)